\section{芝诺佯谬和时间的度量}\label{sec:01.02}

古希腊哲学家芝诺有一个很著名的论证：跑得最快的神话英
雄阿基里斯是永远追不上跑得最慢的东西 (例如一只龟) 的。他的
论证如下：因为开始时阿基里斯是在龟的后面，所以，阿基里斯
要追上龟，他必定先要到达龟的出发点，这要用有限的时间，在
这段时间里龟必定向前跑了，到达前面的一点，而当阿基里斯再
到达这点时，龟必定又已到达更前面的一点。如此重复下去，就
是进行无穷多次，龟也总不会落在阿基里斯之后。

这个论证被称为芝诺佯谬，如何解开这个佯谬？

关键是在芝诺佯谬中用了两种不同的时间度量。按上节的讨
论，任何一种具有重复性的过程。都可以做为“钟”，用其重复
的次数来量度时间。芝诺问题中。除了“普通”钟所测得的时间
$t$，还利用了一种很特别的钟，该钟使用的重复性过程是：阿基里
斯逐次地到达龟在前一次的出发点。我们称这种钟叫芝诺钟，它
测得的时间为$t'$。

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics{figure/fig01.02}
  \caption{芝诺时的定义}\label{fig:01.02}
\end{figure}

如图\ref{fig:01.02}，阿基里斯和龟在开始时相距为$L$，速度分别为$v_1$及
$v_2$，并且$v_1>v_2$。如果用普通的钟，则阿基里斯将在
\begin{equation}
  t=L/\left(v_1-v_2\right)
  \label{eqn:01.02.01}
\end{equation}
时，赶上龟；当$t>L/\left(v_1-v_2\right)$时，阿基里斯就超过龟了。

图中左边的数字表示的是芝诺时$t'$。当$t'=1$时，阿基里斯到
达龟在0时的出发点；当$t'=2$时，阿基里斯到达龟在1时的出发
点。一般地，当$t'=n$时，阿基里斯到达龟在$t'=n-1$时的位置。
显然，只有当$t'\to\infty$时，阿基里斯才能逼近龟，对于任何有限的
$t'$，阿基里斯总是落在龟的后面。这就是芝诺的结论。

因此，芝诺断言：“阿基里斯永远也追不上龟。”这里“永
远”的含意是$t'\to\infty$。，即芝诺时间的无限。

现在我们来讨论普通时$t$与芝诺时$t'$之间的变换关系。不难
验证表\ref{tab:01.02} 给出的两种时间的对应。因此，一般有
{\setlength{\mathindent}{4em}
\begin{equation}\label{eqn:01.02.02}
  t=\sum_{n=0}^{t^{\prime}-1} \frac{L}{v_{1}}{\left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)}^{n}=\frac{L}{v_{1}-v_{2}}\left[1-{\left(\frac{v_{2}}{v_{1}}\right)}^{t'}\right]
\end{equation}}%
或者
\begin{equation}
  t^{\prime}=\frac{1}{\ln \left(v_{2} / v_{1}\right)} \ln \left[1-\left(\frac{v_{1}-v_{2}}{L}\right) t\right]
  \label{eqn:01.02.03}
\end{equation}%
式\eqref{eqn:01.02.02}或式\eqref{eqn:01.02.03}称为芝诺变换。它给出的$t'$与$t$的关系。在
图\ref{fig:01.03}~中画出。

\begin{table}[!h]
  %\renewcommand\arraystretch{1.6}
  \centering
  \caption{普通时与芝诺时的关系}\label{tab:01.02}
  \zihao{-5}
  \begin{tblr}{colsep=2em,row{2-Z}={rowsep=0em},colspec={c|X}}
    \toprule
    芝诺时（$t'$） & \SetCell{c}普通时（$t$）                                                                                                        \\
    \midrule
    0         & 0                                                                                                                          \\[1.75ex]
    1         & $\dfrac{L}{v_1}$                                                                                                           \\[1.75ex]
    2         & $\dfrac{L}{v_1} +\dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1}$                                                                      \\[1.75ex]
    \vdots    & \vdots                                                                                                                     \\
    $n$       & $\dfrac{L}{v_1} + \dfrac{L}{v_1}\cdot\dfrac{v_2}{v_1} + \cdots +\dfrac{L}{v_1}\cdot{\left(\dfrac{v_2}{v_1}\right)}^{n-1} $ \\[1.75ex]
              & $= \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L}{v_1}{\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}^i$                                           \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
  \vspace{-0.8em}
\end{table}

由图\ref{fig:01.03}看到，芝诺变换是有奇性的，即当$t=L/\left(v_1-v_2\right)$时，
$t'\rightarrow\infty$。所以，当芝诺时$t'$从零变化到无限时，它只覆盖了普通时
$t$上的一个有限范围，即从零到$ L/\left(v_1-v_2\right) $。

因此，芝诺佯谬之“佯”，是由于芝诺把\CJKunderdot{永远}理解为$t'\rightarrow\infty$。
他认为$t'\rightarrow\infty$之后就没有时间了，故$t'\rightarrow\infty$相当于永远。实际上，
从图\ref{fig:01.03} 看到，在芝诺时$ t' $到达无限之后。还是有时间的。但是，
在该范围，即$ t>L/\left(v_1-v_2\right) $，用芝诺钟已经无法度量它们了。简
言之，芝诺的佯谬，来源于芝诺时的局限性，芝诺时不可能度量
阿基里斯追上龟之后的现象。

芝诺佯谬给我们的启示是，时间与时间的度量不同，一种时

\begin{wrapfigure}[10]{10}{48mm}
  %\vspace{-0.5em}
  \includegraphics{figure/fig01.03}
  \caption{芝诺时的定义}\label{fig:01.03}
  %\vspace{-1.2em}
\end{wrapfigure}
\noindent 间的度量达到无限之后，还是可以有时间的；反之，一种时
间的度量达到无限，从其他的度量看，可能是有限的。

芝诺佯谬还启发我们提出一个更深入的问题，即所谓普通钟
或日常钟是否也具有芝诺钟那种局限性？当日常钟$t$的读数达到
无限之后，是否也还有时间？是否有$t$也无法度量的现象，即在
$t\rightarrow\infty$之外的现象？现代物理学的研究，对这些
问题的回答都是肯定的。
